Jaroslav Pavelka je odchovancem hradeckého Mountfieldu. Během svých mládežnických let se pravidelně objevoval v juniorských reprezentacích a objevil se i na mistrovství světa U18. Taktéž si dvě sezóny zahrál v kanadské juniorské lize OHL.
Poté se vrátil zpět do Hradce, kde začal sbírat první zkušenosti se seniorským hokejem. Do branky Mountfieldu se na delší dobu poprvé dostal na konci ročníku 2017/18, kdy mimo jiné pomohl svému týmu vyřadit ve čtvrtfinále Bílé Tygry. V dalším ročníku už se v bráně Východočechů objevoval pravidelně.
Následně se Pavelka poprvé v kariéře stěhoval do jiného extraligového klubu, když vyslyšel lákání Plzně. Kvůli zdravotním problémům, které ho trápily celou sezónu, ale nakonec nenastoupil do žádného zápasu. A tak přišel přestup pod Ještěd, kde vytvořil brankářské duo s Petrem Kváčou.