S hokejem začínal Jakub Rychlovský ve Vrchlabí, nicméně již během mladšího dorostu přestoupil do města pod Ještědem. Postupně se vypracoval mezi hlavní opory mužstva a vůdčí roli plnil následně i mezi juniory. Díky svým výkonům také dostával pravidelně pozvánky na reprezentační akce, včetně světových šampionátů kategorií U18 a U20.
Již během mládežnických let začal také nastupovat za farmu v Benátkách a premiéru v tygřím áčku si odbyl v sezóně 2019/20. Postupně si vydobyl v sestavě Liberce pevné místo a v ročníku 2020/21 se s týmem dokonce podíval do extraligového finále, v němž Severočeši prohráli s Třincem. V roce 2023 s klubem podepsal novou jednoroční smlouvu.